库尔特·黑格纳

生活和事业

翰哥纳出生和死亡在柏林。在1952年，他发表了他声称是由伟大的提出了一个经典问题的解决方案数学家高斯，的1类数问题一个重要的问题，站在长数论。Heegner的作品不被接受，多年来，由于引用了一部分安里西·韦伯的工作被认为是不正确的（虽然他从来没有用这个结果证明）。

翰哥纳证明终于被接受为基本正确1967公告后布莱恩桦木通过研究，明确解决哈罗德斯塔克这是延迟发布到1969（斯塔克曾独立到达了一个类似的证明，但不同意他的证明是“或多或少Heegner是相同的“普通观念）。斯塔克归结翰哥纳的错误事实，他用一个教科书中的Weber不完全证明的一些结果。

最近的一本书莱昂哈德·欧拉的遗产：一个三百年贡（Lokenath Debnath）64页上声称，Heegner是一个“退休的瑞士数学家”，但他似乎既不是瑞士也不是退休在他的1952篇论文的时间。

他也是个无线电专家，他在二战阶段有6个专利。他一辈子就写过两篇数学文章，第一篇是试图解决高斯类数1问题，这个问题是代数数论基本问题。高斯算出9个虚二次域其类数为1，且证明这样的数域最多10个，但不知道第十个是否存在。Heegner在做无线电的业余时间，就研究这个问题，这个文章证明了第十个不存在。这个文章他发表的时候已经59岁了，这是非常了不起的。可惜这个文章当时没有被整个数学界承认，直至多年后Stark和Baker给出新的证明。后来Siegel发现，Heegner的证明是对的，且是构造性证明。他52年发了这个文章，69年才被承认，这时已经过去了17年了。另一点就是，如果你由于他不是职业数学家，所以他写的东西非常之难看，我们请胥老先生把这篇文章翻译过来了，有兴趣的话可以看看当年Heegner是怎么算的。我只介绍Heegner工作的要点。Heegner解决了类数1问题，顺带解决了同余数问题。只有到了Heegner，才具体证明了哪些数是同余数。

我们需要介绍模参数化，就类似于三角函数可以参数化单位圆一样。Heegner需要构造

C:y2=x3+ax+b

的解的主要工具是模函数。这叫做双曲参数化。其实，椭圆函数的参数化对于解决这样的问题没有帮助，对做拓扑等其他东西有帮助，对数论没啥帮助。对于双曲度量，三角形内角和是小于180度的，所有的半圆都是测地线。用双曲几何给出这样的参数化，我没办法具体去理解双曲参数化妙的地方。我想通过一个例子，当然这时如果你有计算器更好，看看下面的表达式是什么东西：

eπ163√是整数吗？

事实上，算下来是这么个东西

eπ163√=262,537,412,640,768,743.99999999999925...≈640,3203+744.

田野告诉我怎么记，陈景润从国外回来，国家答应给他做人大代表，他就提议加了一辆公共汽车，就是320，我做学生时刚有320，终点到中关村；现在好像走的远一些了，以后让他们改回来（笑）。那么，大体上，模函数的特点和三角函数有很大相似之处。三角函数在2π的有理数倍取代数值，模函数在二次点上取代数值。什么叫二次点呢，下面会讲到，比如j（z）是个标准模函数

j(q)=1q+744+196,884q+?.

其中，q=exp(2πi)，那么

j(1+?163????√2)=?6403203.

就是个很漂亮的数。

Heegner数（同余数）

公元10世纪，波斯的穆斯林数学家凯拉吉（Al-Karaji）首次提出了“同余数”.不过他是用平方数（1,4,9,16,25,36之类）这个术语进行描述的。他问了这么一个问题：是否存在正整数n,使得

a2-n 和 a2+n都是平方数。如果n存在，那么它便被称为同余数。实际上，希腊数学家丢番图（Diophantus）提出过类似的问题。凯拉吉曾把丢番图的作品翻译到阿拉伯语，因此他提出的这个问题实际上是受丢番图的启发.

1225年，斐波那契（斐波那契数的那位）指出5和7是同余数，但没有给出证明。证明是史上最伟大业余数学家费马在1659年给出的。直到1915年，确定的同余数不到100个.1952年,Kurt Heegner使用了比较高深的数学技巧证明5、13、21、29.等差数列中的所有质数都是同余数。然而直到1980年，确定的同余数不到1000个

公同余数是一个正整数，它被定义为边长为整数或分数的直角三角形的面积，如直角三角形边长分别为3,4,5,那么它的面积为6,而6便是一个同余数.

最小的同余数是5,它是边长3/2、20/3和41/6的直角三角形面积.